Con este objeto de aprendizaje se presentará la ley de Gauss y algunas de las aplicaciones que tiene en el campo de estudio de la electricidad.
Campo y potencial eléctrico
Ley de Gauss
Cualquier distribución o densidad de carga eléctrica, se puede representar en términos de las líneas de flujo eléctrico.
Supongamos que contamos con una carga puntual q, al encerrarla dentro de una esfera de radio r, el campo eléctrico en cualquier punto de dicha esfera será:
Si ahora definimos a ΔN como el número de líneas de campo que pasan por una pequeña porción de la superficie, y ΔA la pequeña porción de área por la que pasan las líneas de campo, entonces, la densidad de líneas de campo debe ser directamente proporcional con la intensidad de campo eléctrico, es decir:
Se ha determinado que la constante que convierte esta proporcionalidad en igualdad es ε0, que se conoce como la permitividad del aire o el vacío, cuyo valor es de 8.85x10-12C2/Nm2, como mencionamos anteriormente, la constante K de la ley de Coulomb, depende del medio ambiente de la siguiente forma:
De esta manera, la ley de Coulomb, puede escribirse como:
Tomando entonces a la permitividad eléctrica como la constante de proporcionalidad, la densidad de líneas de campo se puede escribir como:
El flujo eléctrico en el segmento será:
Si consideramos que el campo eléctrico es constante sobre toda la superficie, el número total de líneas de campo que salen sobre toda la superficie esférica cuya área es 4πr2 será:
y sustituyendo la nueva expresión del campo eléctrico y el área de la esfera:
entonces:
Aunque el desarrollo anterior se obtuvo usando como superficie gaussiana una esfera, se aplica exactamente igual para cualquier otra superficie de forma irregular. De esta manera, podemos proporcionar una definición más general de la ley de Gauss: El número total de líneas de campo que cruzan cualquier superficie cerrada hacia fuera o hacia adentro es numéricamente igual a la carga total encerrada por dicha superficie:
El flujo eléctrico a través de un área está definido con el campo eléctrico multiplicado por el área de la superficie proyectada en un plano perpendicular al campo. La ley de Gauss es una ley general aplicada a cualquier superficie cerrrada. Es una herramienta importante dado que permite calcular la cantidad de carga encerrada por la superficie. Para superficies con suficiente simetría el cálculo del campo eléctrico se simplifica bastante.
Líneas de campo y la ley de Gauss
Una distribución de carga no uniforme puede complicar el cálculo de carga eléctrica de la distribución así como el cálculo del campo eléctrico generado por ésta distribución de carga; pero si se aplica la ley de Gauss entonces éste cálculo se puede simplificar, solo hay que elegir una superficie gaussiana con la simetría adecuada. Después de ubicar la distribución de carga eléctrica dentro de la superficie gaussiana, la carga total de la distribución de carga será proporcional al número de líneas de campo eléctrico que salen de la superficie menos el número total de líneas de campo que entran a la superficie gaussiana:
